Логические парадоксы и человеческое сознание

Логические парадоксы известны человеку с античных времен, но их систематический анализ, а также коллекционирование и изобретение новых парадоксов начались только в конце XIX века. Именно в то время были обнаружены парадоксы в теории множеств - новой области математики, претендовавшей на то, чтобы стать фундаментом всей математики в целом. С открытием парадоксов – самопротиворечивых суждений – такие ожидания стали выглядеть неоправданными, поэтому математики постарались приложить значительные усилия, чтобы разобраться в механизмах возникновения парадоксов и понять, как их можно избежать. Ведь на звание «царицы наук» может претендовать только научная дисциплина с самыми высокими стандартами строгости суждений – и безусловно свободная от противоречий.

Поэтому, раз уж я взялся порассуждать о парадоксах, совсем без математики не обойтись никак. Однако я собираюсь привлекать ее в настолько малой степени, насколько это необходимо для моего изложения. Выводы, которые я собираюсь озвучить, носят не математический, а скорее общефилософский характер, поэтому те, у кого математика вызывает отвращение, отторжение и зевоту, могут пропускать фрагменты, имеющие математический вид. Либо – как вариант – немедленно прекратить чтение этого текста и заняться чем-нибудь более радостным.

В первой части этой статьи математика практически не будет упоминаться (хотя один из парадоксов использует числа в своей формулировке), вторая же часть, напротив, будет касаться в первую очередь математики (при этом я постараюсь излагать материал в максимально популярной форме и обойтись без ненужных нормальному человеку деталей), наконец, третья часть будет содержать рассуждения довольно общего характера.

Моя цель – показать, какие выводы можно сделать, размышляя над спецификой логических парадоксов; выводы будут касаться человеческого сознания и человеческого осмысления мира. Вот так, ни много, ни мало.

Начнем с примеров парадоксов.

Посмотрим на рамку и фразу внутри нее:



Прочитали? Вопрос: истинно или ложно это утверждение?

Предположим, что оно ложно. В таком случае то, что написано внутри рамки – ложь, то есть утверждение, написанное внутри рамки – истинно.

Итак, предположив, что утверждение ложно, мы пришли к выводу, что оно истинно. Противоречие.

Предположим теперь, что оно истинно. Тогда написанное внутри рамки – правда, то есть, утверждение, которое написано внутри рамки, – ложно.

Таким образом, предположив, что утверждение истинно, мы пришли к выводу, что оно ложно. Противоречие.

Это и есть логический парадокс: любое из возможных предположений приводит к противоречию. Мы оказываемся внутри порочного круга и не можем прийти к разумному выводу.

Приведенный парадокс известен с античности, это так называемый «парадокс лжеца» (самая известная формулировка - человек говорит: «То, что я сейчас говорю –ложь.» Если эта фраза ложь, то она правда, а если правда – то ложь).

Следующий пример.

Каждое число (будем говорить только о целых числах) можно описать каким-то количеством слов. У многих чисел есть названия: например, пятьсот. Миллион. 3896457125 (произнесите словами, получится длинно). Иногда вместо длинного названия-описания (один миллион пятьсот тысяч), можно дать более короткое (полтора миллиона). Но, как бы то ни было, фразой из, скажем, менее десяти слов, нельзя описать все целые числа: таких фраз конечное число, а чисел бесконечно много.

Рассмотрим натуральные (целые положительные) числа, которые нельзя описать менее, чем десятью словами. Среди таких чисел должно быть наименьшее. Считайте: наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами. Девять слов.

Как же так?! Ведь мы рассматривали только числа, которые нельзя описать менее, чем десятью словами. А оказалось, что наименьшее из этих чисел можно описать девятью. Нельзя, но можно… Этот парадокс называют парадоксом Берри. Он был открыт в начале ХХ века.

Третий пример: парадокс Греллинга (1908).

Назовем прилагательное «автологическим», если оно само обладает тем свойством, которое описывает, «гетерологическим», если оно таким свойством не обладает. Например, прилагательные «зеленый», «квадратный» - гетерологические, а прилагательные «многосложное» или «двадцатичетырехбуквенное» - автологические (в последнем прилагательном – 24 буквы). Рассмотрим прилагательное «гетерологический». Если оно – гетерологическое (само себя не описывает), то оно – автологическое (если прилагательное «гетерологический» гетерологично, то, получается, оно описывает себя). А если оно автологическое, то получается, что оно гетерологическое.

Все три приведенных парадокса логически безупречны, в них нет логических ошибок. И поскольку они показывают случаи, когда логика дает сбой, то нельзя логически объяснить, как они получились (логика-то не работает!). Математики в свое время заметили, что парадоксы возникают, когда некое понятие (или некий объект) ссылается само на себя (автореференция). В первом примере утверждение прямо ссылается само на себя – автореференция видна невооруженным взглядом. Во втором примере все несколько тоньше: мы сначала при помощи некоторого свойства определяем множество (множество чисел, которые можно описать короче, чем десятью словами). При помощи этого множества определяем некий объект (минимальный объект, не принадлежащий этому множеству). И далее пытаемся выяснить включен или не включен этот объект в наше множество. То есть, возникает автореференция вида:

множество -> объект, возникший после создания исходного множества -> соотнесение этого нового объекта с исходным множеством

Эту автореференцию можно проиллюстрировать картинкой:

Выдающийся математик Бертран Рассел (1872 – 1970) в связи с такими конструкциями провозгласил принцип порочного круга: никакая совокупность не может содержать элементов, определимых только в терминах этой совокупности, а также элементов, включающих в себя или предполагающих эту совокупность.

В третьем парадоксе мы видим тот же порочный круг: термины «гетерологический» и «автологический» возникают только после определения соответствующих совокупностей, поэтому вопрос об их принадлежности к этим совокупностям должен быть запрещен в смысле принципа порочного круга Рассела.

Ход мысли Рассела и других математиков начала ХХ века понятен: для сохранения за математикой титула «царицы наук» логические рассуждения, ведущие к парадоксам, надо запретить.

В такой постановке вопроса есть резон: вы можете проверить на себе, что осмысление логических парадоксов вызывает отрицательные эмоции, вы испытываете трудности при попытках понять их суть. Тут есть важный момент: сама по себе логика парадоксов очень проста, логическое рассуждение в каждом примере состоит буквально из одной фразы, на уровне: Петя любит Таню, Таня любит Петю, следовательно, их любовь взаимна. Но вам приходится применять нешуточное усилие, чтобы осмыслить эту логику.

Ситуация напоминает многие сюжеты американских фильмов на конспирологические темы (мой любимый – фильм «Теория заговора» с Мэлом Гибсоном и Джулией Робертс): герою требуются серьезные, буквально критические для жизни усилия, чтобы осознать (припомнить) важнейшие для его жизни факты. Ему становится плохо, он почти что теряет сознание, стараясь вспомнить главное. А почему так? А потому, что он был подопытным кроликом, и экспериментаторы поставили ему ментальный блок, запрещая эти воспоминания.

В случае парадоксов мы имеем аналогичную проблему: мы стоим лицом к лицу перед ситуациями, когда логика – самый эффективный метод для анализа мира – перестает работать. Мы пытаемся это осмыслить – и нам это не нравится. Мы чувствуем дискомфорт.

Тут я предлагаю подумать над тем, что из себя представляет человеческое сознание. Энциклопедии пишут, что при помощи сознания мы отделяем я от не-я, себя любимого от внешнего мира. Но сознание, в частности, означает, что мы понимаем наличие у себя этого самого сознания: я осознаю, что я осознаю. То есть:

Человеческое сознание – это принципиально авторефлексивный феномен.

И при этом оказывается, что единственный надежный метод осмысления реальности – логика – дает критические, безнадежные сбои при попытках анализа авторефлексивных феноменов. То есть, у человека есть сознание, но на осмысление и анализ этого факта поставлен блок.

Кем?

Можете считать этот вопрос провокационным или тривиальным, в зависимости от вашего мировоззрения.

Продолжение следует.
"Человеческое сознание – это принципиально авторефлексивный феномен"

Эту мысль развивает Дуглас Хофштадтер. Наверняка Вы читали его книги?
Не читал, но читал в Википедии (в статье "сознание"), что эту мысль развивают многие.
Что-то у вас с "авторефлексивным" сознанием, как мне кажется, противоречие.

Предположим (на всякий случай, вдруг энциклопедии ошибаются), что сознание возникает в момент различия между "я" и "не я ".

При этом когда выделенное в этот момент "я" начинает думать о "я", "не я" уже имеется в наличии.

То есть присутствие "не я" - это условие сознания (и рефлексии).

И, следовательно, "я" может думать о "я" только в контексте более широкого (чем просто "я") множества или системы, что не противоречит принципу Рассела.

Вопрос в том, чем именно вызвано первоначальное различение и различие: только лишь самим "я" (которое из себя творит и "я" и "не я" в рамках некоего навязанного метода или структуры для продолжения осмысленного существования) или еще чем то внешним по отношению к нему.

Но вряд ли этот вопрос разрешим.
//То есть присутствие "не я" - это условие сознания (и рефлексии).//

Безусловно.

//И, следовательно, "я" может думать о "я" только в контексте более широкого (чем просто "я") множества или системы, что не противоречит принципу Рассела.//

Не понял Вашу мысль. Авторефлексия внешнего контекста не отменяет и не запрещает. Я не вижу противоречия в рассуждениях моего текста.
Моя мысль проста - сознание не авторефлексивно, так как определяется при помощи "не я", то есть элемента внешнего по отношению к "я" (
и его сознанию).
Это вовсе не означает неавторефлексивности. Пример: определим понятие "нечетный" как "не четный", а понятие "четный" - как "не нечетный". Каждое из понятий определяется через внешнее понятие, тем не менее имеем авторефлексивность в чистом виде (на втором шаге).
"никакая совокупность не может содержать элементов, определимых только в терминах этой совокупности, а также элементов, включающих в себя или предполагающих эту совокупность".

"Не я" не определяется в терминах "я", не включает "я", и ему с высокой колокольни плевать на "я".

Но с другой стороны "не я" это нечто, предвещающее "я" ничто.

То есть "я" определяется "не я", включает "не я", и ему очень интересно, что именно про него это "не я" думает.

Попробуйте разыграть фразу "я осознаю, что я осознаю" в декорациях платоновской пещеры, и вы поймете, что никакой авторефлексивности в ней нет.

Во фразе повешенной в рамочке на стену авторефлексивность есть, а в реальном сознании нет.

Как говорят американцы, редуцировавшие Платона до своего уровня: карта - это не территория.
//"Не я" не определяется в терминах "я"//

"Не синий" не определяется в терминах "синий"
"Не вкусный" не определяется в терминах "вкусный"

Интересная логика.
Ну проверьте ее на оживленном перекрестке: когда вам загорится красный свет можете бросится, закрыв глаза, на перерез машинам - ведь "не я" определяется "я", и если вы захотите - все перед вами остановятся.
Не стоит путать определения понятий и реальность. Реальность - она и так есть, ее определять не надо. Я же веду речь о логике и сопутствующих определениях. Это другое. Сознание - термин, имеющий некоторое определение. Это и обсуждается.
Тогда бы, наверное, следовало пояснить, что когда вы говорите о "сознании", вы говорите не о явлении человеческого сознания (существующего внутри реальности), а о некой математической абстракции (произвольно определенном термине "сознание" и игре с ним в абсолютном вакууме чистой логики).

Это снимает все вопросы.
У человека есть руки, есть волосы, но сам себя за волосы из болота он вытянуть не может.

Кто же ему это запретил!?
Ну мы-то с вами рациональные люди, понимаем. А хозяин журнала из существования закона выводит существование автора закона.
Насчет "из существования закона выводит существование автора" сказано метко, и я тут тоже было поржал в соседней ветке "как видим, логикой и идеей заговора можно сделать немножко больше, чем просто логикой"...

Но тут автор внезапно достучался до моего (рационального) сердца. Он просто непонятно зачем все запутывает всей этой длинной и очевидной фигней про авторефлексивность и логику, и пост выглядит идиотски. Но ключ там в другой его фразе - "Мы пытаемся это осмыслить – и нам это не нравится. Мы чувствуем дискомфорт."

Т.е. автор никакой не логик, а вполне себе суровый эмпирик. Его параноидная идея об "авторе" рождается не из логики, а из субъективного ЭМОЦИОНАЛЬНОГО переживания ЗАПРЕТА. "Как Малдер страдал от блока", "как я в три года когда варенье запретили". При этом он эмоции как таковые не вводит в рассмотрение, а говорит опять ерунду "логика перестает работать" (логика никуда не перестает, просто есть эмоциональный блок), но это неважно.

Короче, я уверовал, несмотря на корявость изложения. К нам в надпочечники рептилоиды засовали такую штуку, что когда мы думаем, кто бреет брадобрея, выделяется кортизол и прочий гистамин (отсюда внутренняя чесотка и раздражение) и мы перестаем думать на эту тему.

(ушел перечитывать "Зловещий барьер" Рассела).

Edited at 2016-06-01 07:55 pm (UTC)
Как видим, логикой и идеей заговора можно сделать немножко больше, чем просто логикой.
Лучшее из ЖЖ
User words_and_pix referenced to your post from Лучшее из ЖЖ saying: [...] что довелось читать в последнее время в жж:   Статьи nesanov'а о логических парадоксах: 1 [...]
РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
1. «Что было раньше: яйцо или курица?»

Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.

В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.

В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность.
ВЫВОД: "КУРИЦА"
РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ (продолжение):
2. Даётся понятие "Недвижущегося (Ахиллес)" , который не состоит в РПРП и отсутствие динамического состояния у которого завуалировано перемещениями, которую следуя Зенону производим и мы переставляя это понятие на предыдущие позиции в РПРП понятия "Движущегося (черепаха)" - вот в этом и вся загадка этого апория Зенона. В такой постановке вопроса даже Усейну Болта не тягаться с черепахой...
3. Суть парадокса "Лжец":
а) "Я лгу" - формулировка характеризующая предыдущую позицию ИНДИВИДА (И-да) в РПРП преподносится как относящаяся к настоящей позиции. Позиционно равноценным предшествующим для этой формулировки в РПРП может быть каждая из обоих вариантов формулировок /"говоря, что не лгу" и "говоря, что лгу"/.
б) Евбулида - на понятие представляющее собой настоящую, завершающую позицию И-да в РПРП ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕГО его от ГРУППЫ И-дов / "Все критяне лжецы"/ преднамеренно накладывается понятие представляющее собой предыдущую позицию И-да в РПРП ИНТЕГРИРУЮЩЕГО его с ГРУППОЙ И-дов /говорит эту фразу тоже критянин/.
Парадоксы возникают тогда, когда в угоду умозаключениям формальной логики пренебрегаются умозаключения диалектической логики. Если в случае с анализом проблемы "яйца или курицы" нашу мыслительную способность направляют в сторону положений общей биологии или религии, то в случае с "Ахиллесом и черепахой" - к математике и физике. А в случае с "Лжецом" к какой области зафиксированного познанием нашим следует нам обратиться? С введением понятия РПРП преодолевается крен в сторону формально логического диктата и решения парадоксов становится делом возможным. То, что суть парадоксов одна и та же, то и путь выхода из них один и тот же.
То, что я сейчас говорю – ложь. - Прикольно, только непонятно на чём строится парадокс. Ведь ничего не утверждается, нет ни одной смысловой единицы.
То что я говорю - а что ты сказал? Ничего. Как ничто может быть чем-то?

Edited at 2017-04-29 05:11 am (UTC)
Решение парадокса Рассела "Брадобрей"
Суть парадокса "Брадобрея" в попытке удаления из РПРП /РЯДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ/ понятия единичного частично дифференцированного из понятия множественного А /мнА - в котором каждое понятие единичного производит конкретное действие (бритьё в данном случае) на самого себя/ - БРАДОБРЕЯ - частичной интегрированностью с каждым из понятий единичных представленным в понятии множественного Б /мнБ - в котором каждое единичное не производит это же конкретное действие на самого себя/ ПУТЁМ ПЕРЕВОДА К ЛОЖНОМУ СОСТОЯНИЮ полной интегрированности с мнБ, что приводит к ложному состоянию отрицания мнА и, значит, брадобрея самого, как представленного в мнА.
В этом получившимся "расширенным" мнБ брадобрею не светит состояние быть выбритым, не быть бородачом - попытка постулирования ещё одного брадобрея, который занялся бы проблемой бритья бородача-брадобрея является начальным в ряду "умозаключений"...
Решение парадоксов (окончательная версия).
Когда не учитывается степень ПОЗИЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ (ПЗ-и) ВЕДОМОГО /понятия в пределах рассматриваемого вопроса/ к ВЕДУЩЕМУ /понятию в пределах этого же вопроса/ возникает парадокс.

ВЕДОМОЕ:
«Яйцо», полагаясь от ВЕДУЩЕГО «курица» в МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОЙ
(МксВ-ой) ПЗ-и в обоих своих СОСТОЯНИЯХ (Сст-ях) /НАЧАЛЬНОМ (Нч)
как снесённое ею; КОНЕЧНОМ (Кн) как насиженное ею/, в ракурсе
вопроса «кто был раньше» выявляющим ВЕДУЩЕГО в МИНИМАЛЬНО
ВОЗМОЖНОМ (МнмВ-ом) числе понятий комбинационно годных для
выбора искомого /в данном случае, имеем вариант с годным полагающимся
в МксВ-ой ПЗ-и от этой роли и с не годным полагающимся вне ПЗ-и от
этой роли/, невольно становится рассматриваемым на эту роль; «Ахиллес» перемещающееся лишь на метку оставляемую ВЕДУЩИМ
«передвигающейся черепахой» естественно, что не догонит её полагаясь в
обоих Сст-ях в МксВ-ой ПЗ-и от неё;
«Я» Кн Сст-я, полагающееся от ВЕДУЩЕГО «ложь» в МнмВ-ой ПЗ-и,
рассматриваемое в МксВ-ой ПЗ-и Нч Сст-я становится поочерёдно
отрицаемым /в обоих Сст-ях/;
«Критянин» Кн Сст-я, полагающееся в МнмВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО «множества
критян не представленного этим критянином, как не лжецом»,
рассматриваемое в Нч Сст-и полагающимся в МксВ-ой ПЗ-и от иного
ВЕДУЩЕГО «множества критян представленного этим критянином не как
не лжецом» становится поочерёдно отрицаемым /в обоих Сст-ях/;
«Брадобрея» в обоих Сст-ях полагающегося в МксВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО
«бреющих себя» и, соответственно, в МнмВ-ой ПЗ-и от иного ВЕДУЩЕГО
«не бреющих себя», рассматривают в ситуации смены степеней ПЗ-и от
ВЕДУЩИХ.
«Стрелу летящую (Сст-е движения)» полагающуюся в обоих Сст-ях /Нч – выхода из
Сст-я покоя; Кн – входа в Сст-е покоя/ в МнмВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО
«Стрелы не летящей (Сст-е покоя)» стараются представить полагающейся
в МксВ-ой ПЗ-и.

«Знание Сократа» полагается в МксВ-ой ПЗ-и от ВЕДУЩЕГО «познаваемого».

Доработанная окончательная версия «Решения парадоксов»
ВЕТВЬ /противоречивых суждений/ развёртывается при не фиксировании момента смыслового изменения ВЕДОМОГО /понятия в рассматриваемом вопросе/ полагающегося при переходе из МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОГО (МксВ-ого) к МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОМУ (МнмВ-ому) УРОВНЮ ЗАВИСИМОСТИ (УЗ-и) от смысла ВЕДУЩЕГО понятия полагающегося на переднем плане для рассмотрения - Вдщ1 - и, соответственно, из МнмВ-ого к МксВ-ому УЗ-и от смысла ВЕДУЩЕГО понятия оставшегося за кадром или же перешедшего на задний план – Вдщ2 /антонима Вдщ1/.


Смысл ВЕДОМОГО:
«Критянин» перешедшего из МксВ-ого УЗ-и от смысла Вдщ1 «лжецы» к
МксВ-ому УЗ-и от смысла Вдщ2 «не лжецы» стал антонимом прежнему;
«Я» … «ложь» к … «правда» …;


Есть также ВЕТВЬ мнимая, развёртывание которой не связана с «не фиксированием момента …», ибо смыслового изменения полагающего развёртывание ВЕТВИ здесь нет.

Смысл ВЕДОМОГО:
«Ахиллес» не перешедшего из МксВ-ого УЗ-и от смысла Вдщ1 «путь
пройденный черепахой» к МксВ-ому УЗ-и от смысла Вдщ2 «пути не
пройденной черепахой» не допускает обгона;
«Стрела» … «движущаяся» … «покоящаяся»
преподносится как смысл перешедшего к антониму;
«Мнение Платона о ложности последующего мнения Сократа» …
«ПОДТВЕРЖДЕНИЯ /Сократом этого мнения Платона/» … «не
ПОДТВЕРЖДЕНИЯ» ...;
«Времени затраченного» … «преодоления полпути» … «преодоление всего пути»
не допускает достижения конца намеченного пути;
«Буриданов осёл» … «НЕУМЕНИЕ /делать выбор между двумя одинаковыми
стогами сена/» … «УМЕНИЕ» обречёт животное на смерть от голода;
«Сюрпризная дата казни» … «определения надсмотрщика» … «оптимистического
размышления приговорённого» не отменяет его казни в следующей
неделе;
«Брадобрей» … «бреющих себя» … «не бреющих себя» не допускает небритого
вида для брадобрея.



«Куча», «Лысый», «Корабль Тесея», «Яйцо или курица» не полагают развёртываний в отношение к себе даже мнимых ВЕТВЕЙ.