nezvanov (nezvanov) wrote,
nezvanov
nezvanov

Category:

Логические парадоксы и человеческое сознание (окончание)

Окончание статьи, начало см. 1), 2).

Подводя итог «математической» части моей статьи, я хочу подчеркнуть следующее: подавляющее большинство людей, которые что-либо слышали о теоремах Геделя, и даже подавляющее большинство математиков понимают их значение неверно. То есть, формально верно, но по сути – неверно. Если отталкиваться только от формулировок теорем, то они вроде бы о том, что доказать непротиворечивость математики нельзя, ее можно только предполагать (если угодно, верить). Но если посмотреть на доказательство Геделя, то мы приходим к другому осмыслению сути его теорем: Гедель показывает, что наличие натуральных чисел позволяет построить формальное выражение, отрицающее само себя (парадокс типа «парадокса лжеца»). И в этом смысл открытия Геделя.

То есть, в конце XIX и первой половине XX века в математике разыгралась следующая драма: математики обнаружили возможность построения парадоксов – утверждений, на которых логика перестает работать. Тогда математики объявили: ранее мы использовали в математике недостаточно строгий язык. Теперь, осознав проблему, мы создадим более строгий, более формальный язык и таким образом сможем избежать ситуаций, когда логика оказывается бессильной. Но Гедель показал, что даже средствами этого строгого языка все равно можно строить парадоксы. А значит, уйти от проблемы не удалось, попытка оказалась негодной. Математики же, вместо того, чтобы открыто это признать, разрешили себе использовать логические рассуждения, построенные на автореферентных утверждениях – правда, лишь для тех случаев, когда сомнительность результатов, полученных таким способом, неочевидна. В приведенном мной ранее «доказательстве» теоремы Ферма сомнительность результата видна с ходу, а в случаях теорем Кантора и Геделя – нет. Но проблема в том, что на логическом уровне отделить «доказательство» теоремы Ферма от доказательств Кантора и Геделя невозможно – там все логически безупречно. Просто это случаи, когда логика дает сбои и на нее полагаться нельзя! А это означает, что и на доказательство Геделя полагаться нельзя. Он вовсе не доказал, что непротиворечивость математики недоказуема, он просто поколдовал с формально-логическими утверждениями в ситуации, когда они могут попросту не работать.

Чтоб два раза не вставать – существует популярный комментарий к теореме Геделя, в духе: «Гедель доказал, что математическая теория не может доказать непротиворечивость самой себя, так же, как человек не может вытащить сам себя за волосы из болота». Эта аналогия в данном случае некорректна: например, исчисление предикатов первого порядка непротиворечиво (есть такая теорема). А, поясним, исчисление предикатов первого порядка – это математическая формализация и расширение классической логики Аристотеля. Таким образом, дело не в «вытащить самого себя за волосы», а в том, что внутри исчисления предикатов нет натуральных чисел – нет инструмента, при помощи которого можно было бы формально построить парадокс.

Какое же свойство натуральных чисел дает им такую разрушительную силу? А вот какое: для каждого натурального числа существует следующее – то, которое на единицу больше предыдущего. Вот эта потенциальная бесконечность натуральных чисел, возможность «сосчитать» любое количество объектов дала Геделю способ построить нумерацию всех возможных высказываний, без всяких ограничений. А потом построить парадокс.

Для дальнейшего изложения мне нужно сказать еще пару слов о действительных числах.

Как я уже упоминал ранее, выяснилось, что классическая математика не может обойтись без непредикативных определений (определений, содержащих явную или неявную автореференцию). Одно из таких определений – классическое определение действительных чисел, предложенное Дедекиндом. Потом вместо определения Дедекинда была предложена система аксиом для действительных чисел. Одна из принципиально важных аксиом – это «аксиома непрерывности». Ее суть в том, что действительные числа можно считать точками на прямой, любой точке на прямой можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

А прямая – это умственная абстракция луча, наблюдаемого человеческим глазом. Для нас естественно считать, что луч – прямой и непрерывный.

Вот только современные знания о мире говорят, что луч вовсе не является непрерывным: он состоит из квантов, из отдельных энергетических частиц.

И вообще в природе нет ничего непрерывного – все в мире состоит из элементарных частиц.

А значит, действительные числа – это фикция, игра ума. Нет таких в природе. А значит, классический математический анализ, целиком построенный на фундаменте действительных чисел – это наука о несуществующих сущностях. «Несуществующие сущности» - чувствуете, повеяло самоотрицающими утверждениями, парадоксами и лжецами?

К счастью, в современном мире, все явления, доступные наблюдению, анализируются при помощи вычислительных машин. А внутри компьютеров нет ничего непрерывного – там все обсчитывается при помощи методов дискретной математики. Кроме того, там нет и бесконечно разворачивающегося ряда натуральных чисел. В каждом компьютере (или массиве компьютеров) имеется максимально возможное число, а следующего за ним уже не существует.

Таким образом, компьютерная математика оказывается свободной и от несуществующих в реальности феноменов типа «непрерывности», и от парадоксов. И в этом плане она является надежным инструментом для познания мира.

Ура. Ура?

Есть одна тонкость.

Человек разработал методы дискретной математики, которые используются в вычислительной технике. Вот только дискретная математика достигла выдающихся успехов путем создания «дискретных» аналогов для методов классического «непрерывного» анализа и производных от него разделов современной математики. Например, вовсю используются «дискретное дифференцирование» и «дискретное интегрирование». Во многих случаях просто используются достижения «непрерывной» математики. Так, целые числа изучаются методами «алгебраической геометрии». А геометрия в современном понимании – это математическая наука о кривых, поверхностях (n-мерных поверхностях и т. п., не будем углубляться), короче говоря, о непрерывных объектах.

С точки зрения квантовой механики – науки о том, что все в мире состоит из элементарных частиц и ничего непрерывного в природе нет – каждая элементарная частица описывается пси-функцией, непрерывной, интегрируемой и дифференцируемой функцией определенного вида.

То есть, человек пришел к пониманию того, что в мире ничего непрерывного нет, но тем не менее осмысляет этот дискретный мир в терминах непрерывности. Разрабатывая способы познания дискретного мира, человек сначала создает концепции и теории в терминах непрерывности, с использованием натурального ряда и прочих кунштюков, ведущих к парадоксам и противоречиям, и лишь потом адаптирует все это к дискретным методам, пригодным для использования в компьютерных расчетах.

И получается, что человеческое сознание противоречит само себе: оно исследует открытое им отсутствие непрерывности в природе, квантовость мира при помощи методов, опирающихся на понятие непрерывности.

Потому что по-другому человеческое сознание не умеет.

Потому что законы, по которым устроено человеческое сознание, отличаются от законов, по которым устроена вселенная.

Человеческое сознание – это самопротиворечивая аномалия в реальном, вещественном мире.
Tags: Подумалось, Посмотрим
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 30 comments